Navigare rapidă:

Un patrulater este o figură plană cu 4 laturi.
Din el derivă mai multe figuri particulare importante:

• Paralelogram – patrulater cu laturile opuse paralele.
• Romb – paralelogram cu toate laturile egale.
• Dreptunghi – paralelogram cu toate unghiurile drepte (90°).
• Pătrat – și romb, și dreptunghi: laturi egale, unghiuri de 90°.
• Trapez – are cel puțin o pereche de laturi paralele.

În probleme, vei folosi frecvent proprietățile de
paralelogram,
romb și
pătrat.

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor aflate la aceeași distanță de un punct fix numit centru.

• Raza (r) – segment care unește centrul cu un punct de pe cerc.
• Diametrul (d) – segment care trece prin centru și unește două puncte de pe cerc (d = 2r).
• Coardă – segment care unește două puncte de pe cerc (nu trece neapărat prin centru).
• Arc – porțiune din cerc între două puncte.

Proprietăți utile (folosite des în probleme):

• Toate razele au aceeași lungime.
• Diametrul este cea mai lungă coardă a cercului.
• Perimetrul cercului (lungimea cercului): C = 2·π·r.
• Aria discului (cercului plin): A = π·r².

Un poligon regulat are toate laturile și toate unghiurile egale (de exemplu: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat).

Când toate vârfurile poligonului se află pe cerc, spunem că poligonul este înscris într-un cerc.

• Triunghi echilateral înscris într-un cerc.
• Pătrat înscris într-un cerc.
• Hexagon regulat înscris într-un cerc.

Aceste configurații apar des în probleme cu distante, arii și rapoarte.

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au aceleași unghiuri și laturile lor corespunzătoare sunt în același raport.

• Toate unghiurile corespondente sunt egale.
• Raportul dintre laturi este constant (k – raport de asemănare).
• Dacă un triunghi este „mărit” sau „micșorat” la scară, obții un triunghi asemenea.

Notăm de obicei: ΔABC ~ ΔA’B’C’.

Problema 1. Un teren are forma unui dreptunghi cu laturile de 20 m și 35 m.
Calculează perimetrul și aria terenului.

✔ Vezi rezolvarea

Perimetru: P = 2·(20 + 35) = 2·55 = 110 m.
Arie: A = 20·35 = 700 m².

Problema 2. Într-un cerc cu raza r = 7 cm se desenează un pătrat înscris.
Calculează perimetrul cercului și aproximativ perimetrul pătratului (folosește π ≈ 3,14).

✔ Vezi rezolvarea (schematic)

Perimetrul cercului: C = 2·π·r ≈ 2·3,14·7 ≈ 43,96 cm (≈ 44 cm).
Pentru pătratul înscris, diagonala lui este diametrul cercului: d = 2·7 = 14 cm.
Latura pătratului: a = d / √2 ≈ 14 / 1,41 ≈ 9,9 cm.
Perimetrul pătratului: P ≈ 4·9,9 ≈ 39,6 cm.

Problema 3. Două triunghiuri sunt asemenea, iar raportul de asemănare este k = 2.
Perimetrul triunghiului mic este 15 cm. Calculează perimetrul triunghiului mare.

✔ Vezi rezolvarea

Pentru triunghiuri asemenea, perimetrele sunt în același raport ca laturile.
P_mare = k · P_mic = 2 · 15 = 30 cm.

Exercițiul 1. Spune ce fel de patrulatere sunt următoarele figuri:

• a) 4 laturi egale, toate unghiurile de 90°
• b) 4 laturi egale, două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze
• c) Două câte două laturi opuse paralele, laturi vecine inegale

✔ Vezi răspunsurile

• a) Pătrat
• b) Romb
• c) Paralelogram (sau dreptunghi dacă unghiurile sunt de 90°)

Exercițiul 2. Într-un cerc cu raza 5 cm:

• a) Calculează perimetrul cercului (π ≈ 3,14).
• b) Arată că un triunghi echilateral înscris are toate laturile egale.

✔ Vezi indicațiile

• a) C = 2·π·r ≈ 2·3,14·5 ≈ 31,4 cm.
• b) Toate vârfurile sunt pe cerc, iar fiecare latură „vede” același unghi la centru ⇒ laturile sunt egale.