Navigare rapidă:

Luăm două numere reale a și b cu a < b. Putem defini mai multe tipuri de intervale între ele:

• (a, b) – interval deschis
  Conține toate numerele x pentru care:
  a < x < b
• [a, b] – interval închis
  Conține toate numerele x pentru care:
  a ≤ x ≤ b
• (a, b] – deschis la a, închis la b
  a < x ≤ b
• [a, b) – închis la a, deschis la b
  a ≤ x < b

Uneori nu avem ambele capete ale intervalului. Folosim
∞ (infinita)
pentru a arăta că intervalul este „fără capăt”.

• (a, +∞) – toate numerele mai mari decât a:
  { x ∈ ℝ | x > a }
• [a, +∞) – toate numerele mai mari sau egale cu a:
  { x ∈ ℝ | x ≥ a }
• (−∞, b) – toate numerele mai mici decât b:
  { x ∈ ℝ | x < b }
• (−∞, b] – toate numerele mai mici sau egale cu b:
  { x ∈ ℝ | x ≤ b }
• (−∞, +∞) – întreaga mulțime ℝ (toate numerele reale).

🔎 Observație: simbolul ∞ nu este un număr, deci nu apare niciodată cu [ ] direct lângă el — mereu folosim paranteză rotundă: (−∞, a) sau (a, +∞).

Pe axa numerelor reale, intervalele se reprezintă cu:

• punct plin (●) – capăt inclus (paranteză pătrată [ ])
• punct gol (○) – capăt neinclus (paranteză rotundă ( ))
• linie continuă între capete – toate numerele dintre ele

Dacă avem două intervale, putem lua:
reuniunea
sau
intersecția
lor.

• A ∪ B – reuniunea (tot ce e în A sau în B)
• A ∩ B – intersecția (doar ce e și în A, și în B)

Orice inegalitate poate fi scrisă și sub formă de interval (și invers):

• x > a ⇔ x ∈ (a, +∞)
• x ≥ a ⇔ x ∈ [a, +∞)
• x < b ⇔ x ∈ (−∞, b)
• x ≤ b ⇔ x ∈ (−∞, b]
• a < x < b ⇔ x ∈ (a, b)
• a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a, b]

Problema 1.Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale x care satisfac inegalitatea:
−2 < x ≤ 5.

✔ Vezi rezolvarea

Inegalitatea arată că x este mai mare decât −2 (dar nu egal) și mai mic sau egal cu 5.
Asta corespunde intervalului: (−2, 5].

Problema 2.Se dă mulțimea A = { x ∈ ℝ | x ≥ −1 } și mulțimea B = (−3, 2].
Scrie sub formă de interval:

• a) A ∩ B
• b) A ∪ B

✔ Vezi rezolvarea

Mai întâi scriem A sub formă de interval:
A = { x ∈ ℝ | x ≥ −1 } = [−1, +∞)

B este deja interval: (−3, 2].

a) A ∩ B – numerele comune celor două intervale.
B merge de la −3 la 2, A de la −1 la +∞. Partea comună începe de la −1 și se termină la 2:
A ∩ B = [−1, 2].

b) A ∪ B – „acoperim” tot ce apare măcar într-un interval.
De la −3 până la +∞ sunt numere „acoperite” de B (până la 2) și de A (de la −1 în sus). Deci:
A ∪ B = (−3, +∞).

Problema 3.Mulțimea soluțiilor unei inegalități este intervalul [1, 4). Scrie o inegalitate dublă echivalentă.

✔ Vezi rezolvarea

[1, 4) înseamnă că x este mai mare sau egal cu 1 și mai mic decât 4.
Deci inegalitatea dublă este:
1 ≤ x < 4

Exercițiul 1.Scrie sub formă de interval următoarele mulțimi:

• a) { x ∈ ℝ | x > 3 }
• b) { x ∈ ℝ | x ≤ −2 }
• c) { x ∈ ℝ | −1 ≤ x < 5 }

✔ Vezi soluțiile

• a) x > 3 ⇔ (3, +∞)
• b) x ≤ −2 ⇔ (−∞, −2]
• c) −1 ≤ x < 5 ⇔ [−1, 5)

Exercițiul 2.Determină, sub formă de interval, reuniunea și intersecția:

• a) A = (0, 5), B = [3, 7]
• b) C = (−∞, 1], D = [−2, +∞)

✔ Vezi soluțiile

• a1) A ∩ B – partea comună:
  de la 3 la 5, 3 este inclus (în B), 5 nu este inclus (în A): [3, 5).a2) A ∪ B – tot ce e în A sau în B:
  de la 0 la 7, 0 nu este inclus, 7 este inclus în B: (0, 7].
• b1) C ∩ D: C merge până la 1, D de la −2 la +∞. Partea comună este de la −2 la 1, ambele incluse:
  [−2, 1].b2) C ∪ D: „acoperim” tot de la −∞ la +∞ ⇒ (−∞, +∞).

Exercițiul 3.Mulțimea soluțiilor unei inegalități este intervalul (−4, 2]. Scrie două inegalități simple echivalente cu această descriere.

✔ Vezi soluția

(−4, 2] înseamnă că x este mai mare decât −4 și mai mic sau egal cu 2.
Deci:

x > −4 și x ≤ 2