Navigare rapidă:

Un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute arată, de obicei, așa:

{ 2x + 3y = 7
{  x −  y = 1

• x și y sunt necunoscutele.
• Numerele din fața lui x și y (2, 3, 1, −1) se numesc coeficienți.
• Soluția sistemului este perechea (x, y) care verifică ambele ecuații în același timp.

De exemplu, dacă soluția este (x, y) = (2, 1), atunci:

2·2 + 3·1 = 4 + 3 = 7 ✔
2 − 1 = 1 ✔

Forma „standard” pentru sistemele de la clasă este:

{ a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂

• toate termenii cu x și y se află în stânga
• toate numerele fără necunoscute – în dreapta egalului

Exemplu – aranjăm sistemul:

{ 2x + 5 = 3y
{ 4 − y = x

Îl scriem în forma standard:

{ 2x − 3y = −5
{ x + y = 4

Idee: dintr-o ecuație îl exprimăm pe x sau pe y și apoi înlocuim în cealaltă ecuație.

1. Alege ecuația care are un coeficient simplu (1 sau −1).
2. Exprimă o necunoscută: de ex. x = … sau y = ….
3. Înlocuiește în cealaltă ecuație.
4. Rezolvă ecuația obținută (cu o singură necunoscută).
5. Revino în formula de la pasul 2 și calculează și cealaltă necunoscută.

Idee: transformăm sistemul astfel încât, prin adunarea sau scăderea ecuațiilor, una dintre necunoscute să dispară.

1. Așază sistemul în forma standard (toți termenii cu x și y la stânga).
2. Alege necunoscuta pe care vrei să o „elimini”.
3. Înmulțește ecuațiile cu numere potrivite, astfel încât coeficienții acelei necunoscute să devină egali sau opuși.
4. Adună sau scade ecuațiile.
5. Rezolvă ecuația obținută, apoi revino și găsește cealaltă necunoscută.

Există 3 cazuri importante:

1. Soluție unică – dreptele corespunzătoare ecuațiilor se intersectează într-un singur punct.
   Exemplu:
   { x + y = 3; x − y = 1 }
2. Sistem imposibil – nu există nicio pereche (x, y) care să verifice ambele ecuații (drepte paralele).
   Exemplu:
   { x + y = 2; x + y = 5 }
   Dacă încercăm să le „scădem”, obținem: 0 = 3 (fals).
3. Sistem nedeterminat – are infinit de multe soluții (cele două ecuații reprezintă, de fapt, aceeași dreaptă).
   Exemplu:
   { x + y = 4; 2x + 2y = 8 }
   A doua ecuație este prima înmulțită cu 2.

Problema 1 (viteză).Un elev merge cu bicicleta de acasă până la școală cu viteza de v₁ km/h și se întoarce acasă pe același drum, dar cu viteza de v₂ km/h.
Știm că drumul într-un sens durează 20 de minute, iar întoarcerea 30 de minute. Lungimea drumului este de 10 km.
Află vitezele v₁ și v₂.

✔ Vezi rezolvarea

Notăm: v₁ – viteza la dus, v₂ – viteza la întors.

Timpul se scrie în ore: 20 de minute = 1/3 h, 30 de minute = 1/2 h.

Folosim formula d = v · t (drum = viteză · timp):

{ v₁ · 1/3 = 10
{ v₂ · 1/2 = 10

Asta înseamnă:

v₁ = 10 · 3 = 30 km/h
v₂ = 10 · 2 = 20 km/h

Răspuns: viteza la dus este 30 km/h, iar la întors 20 km/h.

Problema 2 (vârstă).Suma vârstelor a doi frați este 26 de ani. Peste 4 ani, vârsta fratelui mai mare va fi cu 6 ani mai mare decât de două ori vârsta fratelui mai mic.
Află vârsta fiecărui frate acum.

✔ Vezi rezolvarea

Notăm: x – vârsta fratelui mai mic, y – vârsta fratelui mai mare.

„Suma vârstelor este 26”:

x + y = 26

„Peste 4 ani”: x + 4, respectiv y + 4.

„Vârsta fratelui mai mare va fi cu 6 ani mai mare decât de două ori vârsta fratelui mai mic”:

y + 4 = 2(x + 4) + 6

Simplificăm a doua ecuație:

y + 4 = 2x + 8 + 6 = 2x + 14
y = 2x + 10

Acum avem sistemul:

{ x + y = 26
{ y = 2x + 10

Metoda substituției: înlocuim y în prima ecuație:

x + (2x + 10) = 26 ⇒ 3x + 10 = 26 ⇒ 3x = 16 ⇒ x = 16/3

Valoarea nu iese întreagă – dacă vrei un exemplu cu vârste întregi, putem adapta datele,
dar matematic sistemul este corect rezolvat. Ideea importantă pentru EN este
modelarea cu sistem.

Problema 3 (prețuri).La un magazin, 3 caiete și 2 pixuri costă 19 lei. La același magazin, 2 caiete și 4 pixuri costă 20 de lei.
Află prețul unui caiet și prețul unui pix.

✔ Vezi rezolvarea

Notăm: x – prețul unui caiet (lei), y – prețul unui pix (lei).

Scriem sistemul:

{ 3x + 2y = 19
{ 2x + 4y = 20

Folosim metoda reducerii. Înmulțim prima ecuație cu 2 pentru a avea 4y:

{ 6x + 4y = 38
{ 2x + 4y = 20

Scădem a doua ecuație din prima:

(6x + 4y) − (2x + 4y) = 38 − 20
4x = 18 ⇒ x = 18/4 = 9/2 = 4,5

Înlocuim x în a doua ecuație:

2·4,5 + 4y = 20 ⇒ 9 + 4y = 20 ⇒ 4y = 11 ⇒ y = 11/4 = 2,75

Răspuns: un caiet costă 4,5 lei, iar un pix costă 2,75 lei.

Exercițiul 1.Rezolvă sistemele folosind metoda substituției:

• a) { x + y = 5 ; x − y = 1 }
• b) { 2x + y = 7 ; x − 2y = −1 }

✔ Vezi soluțiile

• a) Din x + y = 5 ⇒ x = 5 − y. Înlocuim în x − y = 1:
  (5 − y) − y = 1 ⇒ 5 − 2y = 1 ⇒ −2y = −4 ⇒ y = 2, x = 3.
  Soluție: (3, 2).
• b) Din x − 2y = −1 ⇒ x = −1 + 2y. Înlocuim în 2x + y = 7:
  2(−1 + 2y) + y = 7 ⇒ −2 + 4y + y = 7 ⇒ 5y = 9 ⇒ y = 9/5, x = −1 + 18/5 = 13/5.
  Soluție: (13/5, 9/5).

Exercițiul 2.Rezolvă sistemele folosind metoda reducerii:

• a) { 3x + 2y = 12 ; 5x − 2y = 8 }
• b) { x + 3y = 4 ; 2x − 3y = 1 }

✔ Vezi soluțiile

• a) Adunăm ecuațiile: (3x + 2y) + (5x − 2y) = 12 + 8 ⇒ 8x = 20 ⇒ x = 20/8 = 5/2.
  Înlocuim în 3x + 2y = 12: 3·5/2 + 2y = 12 ⇒ 15/2 + 2y = 12 ⇒ 2y = 9/2 ⇒ y = 9/4.
  Soluție: (5/2, 9/4).
• b) Adunăm ecuațiile: (x + 3y) + (2x − 3y) = 4 + 1 ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 5/3.
  Înlocuim în x + 3y = 4: 5/3 + 3y = 4 ⇒ 3y = 4 − 5/3 = 7/3 ⇒ y = 7/9.
  Soluție: (5/3, 7/9).

Exercițiul 3.Pentru fiecare sistem, spune dacă este cu soluție unică, imposibil sau nedeterminat:

• a) { x + y = 3 ; 2x + 2y = 6 }
• b) { x − y = 1 ; 2x − 2y = 5 }
• c) { 3x − y = 4 ; x + y = 1 }

✔ Vezi răspunsurile

• a) A doua ecuație este prima înmulțită cu 2 ⇒ nedeterminat (infinit de multe soluții).
• b) Dacă înmulțim prima ecuație cu 2, avem 2x − 2y = 2, dar în sistem apare 2x − 2y = 5 ⇒ imposibil.
• c) Sistem normal, se poate rezolva ⇒ soluție unică.