Lecția 2 – Rădăcina pătrată și pătrate perfecte
Ce este √a • Pătrate perfecte până la 20² • Proprietăți • Estimări • Probleme tip EN
Începând cu clasa a VII-a, rădăcina pătrată devine un instrument important în calcule, probleme geometrice și la
Evaluarea Națională.
În această lecție vom învăța ce înseamnă \( \sqrt{a} \),care sunt pătratele perfecte,ce proprietăți are radicalul și cum putem aproxima valori ca \( \sqrt{20} \) sau \( \sqrt{50} \).
🧠 1) Ce este \( \sqrt{a} \)?
Pentru un număr real
\( a \ge 0 \),
rădăcina pătrată din \( a \), notată cu \( \sqrt{a} \), este numărul real pozitiv \( x \) care are proprietatea:
\( x^2 = a \) și \( x \ge 0 \)
Exemple:
- \( \sqrt{9} = 3 \), pentru că \( 3^2 = 9 \)
- \( \sqrt{25} = 5 \), pentru că \( 5^2 = 25 \)
- \( \sqrt{1} = 1 \), \( \sqrt{0} = 0 \)
Observație importantă:
în mulțimea numerelor reale ℝ nu există rădăcină pătrată pentru numere negative
(de exemplu \( \sqrt{-4} \) nu este definit în ℝ).
📊 2) Pătrate perfecte (1² până la 20²)
Un pătrat perfect este un număr natural care poate fi scris ca
\( n^2 \), cu \( n \in \mathbb{N} \). E foarte util să ții minte pătratele perfecte până la \( 20^2 \):
De aici rezultă imediat:
\( \sqrt{121} = 11 \), \( \sqrt{256} = 16 \), \( \sqrt{400} = 20 \) etc.
⚙️ 3) Proprietăți de bază ale radicalului
Pentru numere reale
\( a, b \ge 0 \), avem:
- \( \sqrt{a} \ge 0 \) (rădăcina pătrată este, prin definiție, numărul pozitiv)
- \( \sqrt{a^2} = |a| \) – de exemplu: \( \sqrt{5^2} = 5 \), \( \sqrt{(-5)^2} = 5 \)
- \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \), dacă \( a, b \ge 0 \).
Exemplu: \( \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6 \) - \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \), dacă \( a, b > 0 \).
Exemplu: \( \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \dfrac{5}{2} \)
Atenție:
nu aplicăm aceste proprietăți dacă rezultă un radical dintr-un număr negativ
.
📐 4) Estimări: unde se află \( \sqrt{20} \), \( \sqrt{50} \) etc.?
Pentru numere care nu sunt pătrate perfecte, putem aproxima rădăcina pătrată folosind pătratele pe care le știm.
Exemplul 1: \( \sqrt{20} \)
- cunoaștem: \( 4^2 = 16 \) și \( 5^2 = 25 \)
- \( 16 < 20 < 25 \Rightarrow 4^2 < 20 < 5^2 \)
- ⇒ \( 4 < \sqrt{20} < 5 \)
Exemplul 2: \( \sqrt{50} \)
- \( 7^2 = 49 \), \( 8^2 = 64 \)
- \( 49 < 50 < 64 \Rightarrow 7^2 < 50 < 8^2 \)
- ⇒ \( 7 < \sqrt{50} < 8 \)
Exemplul 3: \( \sqrt{5} \)
- \( 2^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \)
- \( 4 < 5 < 9 \Rightarrow 2^2 < 5 < 3^2 \)
- ⇒ \( 2 < \sqrt{5} < 3 \)
📘 5) Probleme aplicate tip Evaluare Națională
Problema 1. Arată că numărul \( \sqrt{121} + \sqrt{144} \) este natural și calculează-l.
✔ Vezi rezolvarea
Știm din tabelul pătratelor perfecte că:
- \( \sqrt{121} = 11 \)
- \( \sqrt{144} = 12 \)
Deci:
\( \sqrt{121} + \sqrt{144} = 11 + 12 = \mathbf{23} \)
Este număr natural, deci cerința este îndeplinită.
Problema 2. Știi că \( 6 < \sqrt{n} < 7 \), unde \( n \) este număr natural. Găsește toate valorile posibile pentru \( n \).
✔ Vezi rezolvarea
Ridicăm la pătrat toate părțile inegalității:
\( 6^2 < n < 7^2 \Rightarrow 36 < n < 49 \)
\( n \) este număr natural, deci:
\( n \in \{37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48\} \)
Problema 3. Compară numerele \( \sqrt{18} \) și \( \sqrt{20} \) fără a folosi calculatorul.
✔ Vezi rezolvarea
Observăm că \( 18 < 20 \). Funcția radical este
crescătoare pe [0, +∞).
⇒ \( \sqrt{18} < \sqrt{20} \)
Deci răspunsul este: \( \sqrt{18} < \sqrt{20} \).
Problema 4. Se știe că \( \sqrt{a} = 3 \) și \( \sqrt{b} = 4 \), cu \( a, b \ge 0 \). Calculează:
- a) \( \sqrt{a \cdot b} \)
- b) \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} \)
✔ Vezi rezolvarea
Avem: \( a = 9 \), \( b = 16 \).
a) \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = \mathbf{12} \)
b) \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \dfrac{3}{4} = \mathbf{\dfrac{3}{4}} \)
✏️ 6) Exerciții de antrenament
Exercițiul 1. Spune care dintre următoarele numere sunt pătrate perfecte:
a) 64 b) 90 c) 225 d) 361 e) 500
✔ Vezi răspunsurile
- 64 = \( 8^2 \) ⇒ pătrat perfect
- 90 – nu este în lista pătratelor perfecte până la \( 20^2 \)
- 225 = \( 15^2 \) ⇒ pătrat perfect
- 361 = \( 19^2 \) ⇒ pătrat perfect
- 500 – nu este pătrat perfect (\( 22^2 = 484 \), \( 23^2 = 529 \))
Exercițiul 2. Calculează exact, fără calculator:
a) \( \sqrt{144} \) b) \( \sqrt{81} \) c) \( \sqrt{289} \) d) \( \sqrt{400} \)
✔ Vezi rezolvările
- a) \( \sqrt{144} = 12 \) ( \( 12^2 = 144 \) )
- b) \( \sqrt{81} = 9 \) ( \( 9^2 = 81 \) )
- c) \( \sqrt{289} = 17 \) ( \( 17^2 = 289 \) )
- d) \( \sqrt{400} = 20 \) ( \( 20^2 = 400 \) )
Exercițiul 3. Găsește un interval de lungime 1 în care se află fiecare dintre numerele următoare:
a) \( \sqrt{30} \) b) \( \sqrt{7} \) c) \( \sqrt{90} \)
✔ Vezi rezolvările
- a) \( 5^2 = 25 \), \( 6^2 = 36 \) ⇒ \( 25 < 30 < 36 \) ⇒ \( 5 < \sqrt{30} < 6 \)
⇒ \( \sqrt{30} \in (5, 6) \) - b) \( 2^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \) ⇒ \( 4 < 7 < 9 \) ⇒ \( 2 < \sqrt{7} < 3 \)
⇒ \( \sqrt{7} \in (2, 3) \) - c) \( 9^2 = 81 \), \( 10^2 = 100 \) ⇒ \( 81 < 90 < 100 \) ⇒ \( 9 < \sqrt{90} < 10 \)
⇒ \( \sqrt{90} \in (9, 10) \)